01 · 坐标系、变换与机器人运动学

假设、参考实现与验收

Rᵀ 为逆要求 R 正交；刚体旋转还需 。采用右手坐标、统一长度单位，齐次变换作用于列向量。

已复核公式条件、单位及算例。实现隔离一个数值机制，不训练完整策略，也不控制真实硬件。

运行前：预测一个边界情况

往返变换恢复 p；非正交 R 不能用转置代替逆。

最小可运行算例

将算例及所链接模块保存在同一目录。使用 Node.js 22 或更高版本，然后运行 node frames-and-kinematics.mjs. 无需第三方运行依赖。

const solve=()=>{
const R=[[0,-1],[1,0]], t=[1,2], p=[1,0];
const world=R.map((row,i)=>row.reduce((s,x,j)=>s+x*p[j],0)+t[i]);
const recovered=p.map((_,i)=>R.reduce((s,row,j)=>s+row[i]*(world[j]-t[j]),0));return [...world,...recovered];
};
const actual=solve();
const expected=[1,3,1,0];
if(JSON.stringify(actual)===JSON.stringify(expected)){console.log('PASS',actual)}else{
const a=[actual].flat(), b=[expected].flat();
if(a.length!==b.length||a.some((v,i)=>!Number.isFinite(v)||Math.abs(v-b[i])>1e-10))throw Error('Numerical mismatch');
console.log('PASS within 1e-10',actual);
}

[
  1,
  3,
  1,
  0
]

测试与迁移

往返变换恢复 p；非正交 R 不能用转置代替逆。

在下方笔记记录输入、代码版本、期望值和实测值；再构造违反上述假设的反例，解释原结论为何不再成立。